Abstract ：

本文对定义在?? (?? ≥ 2) 维Euclid 空间上的??-Hessian 方程的解进行了研究. ??-Hessian 方程是一类非常重要的完全非线性偏微分方程. 微分几何中的许多问题都可以转化为解一般的??-Hessian 方程. 例如共形几何中的??-Yamabe 问题. 特别地, 当??= ??时, ??-Hessian方程即为Monge-Ampere方程. Monge-Ampere方程在许多问题中都有应用,例如微分几何中的Minkowski问题和Weyl问题,以及最优运输问题等等. 本文主要考虑了具有奇异右端项的??-Hessian 方程解的存在性和边界渐近行为. 关于解的存在性, 主要通过运用一个简单方程的解构造合适的闸函数并运用函数列逼近的方法证明. 关于解的渐近行为, 主要通过构造上下解并运用比较原理的方法得到. 此外, 本文还运用类似的方法得到了??-Hessian 方程的边界无穷大解的存在性和边界渐近行为. 具体如下: (一) 给出具有奇异右端项的Monge-Amp?ere 方程解的存在性及边界渐近行为. 首先, 在右端项函数??(−??)和??(??) 满足合适的条件下,证明了Monge-Ampere方程严格凸解的存在性,其等价于右端项只有??的Monge-Ampere方程凸解的存在性. 其次,在函数?? 和?? 满足更精确的渐近性条件下, 通过构造上下解并运用比较原理的方法得到解在边界的渐近估计. 证明中通过运用Karamata 正规变化理论得到了函数趋于零或无穷大的准确速度.这里??在边界可能趋于零,也可能趋于无穷大,减弱了之前文献要求??有正的上下界的条件.我们的结果实际上也是对右端有奇异的椭圆方程的Hopf引理的推广. (二) 将(一)中关于右端奇异的Monge-Ampere 方程的结果推广到??-Hessian 方程.首先,在右端项函数??(−??)和??(??)满足合适的条件下,通过运用右端只有??的??-Hessian方程的解构造闸函数及运用函数列逼近的方法证明了??-Hessian 方程粘性解的存在性.其次, 在函数?? 和?? 满足更精确的渐近性条件下, 通过构造上下解并运用比较原理的方法得到??-Hessian 方程粘性解在边界的渐近行为. 在验证构造的函数为上下解的过程中,我们运用Karamata正规变化理论得到了函数趋于零或无穷大的准确速度. (三) 给出??-Hessian 方程的边界无穷大解的存在性和边界渐近行为. 首先, 在右端 项??(??) 和??(??) 满足合适的条件下, 我们证明了??-Hessian 方程的边界无穷大的粘性解的存在性. 与Salani 运用径向函数构造闸函数的方法不同, 本文我们通过运用右端只有??的??-Hessian方程的解(在边界等于零)构造合适的闸函数的方法证明粘性解的存在性.其次, 若函数?? 和?? 在边界附近满足更精确的渐近性条件, 通过构造上下解并运用比较原理的方法,我们得到与Salani 和Huang Yong不同的解在边界的渐近行为.

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??-Hessian方程 Monge-Ampere 方程 存在性 渐近行为 奇异

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研究解的对称性和径向对称解的个数在数学物理中具有广泛的应用, 并在理论上具有极强的探索价值. 本文主要研究半线性椭圆方程在混合边界条件下解的轴向对称性以及径向解的个数. 第一章, 综述了椭圆方程解的对称性和单调性, 以及径向解的个数的研究方法和研究现状, 并列举了本文的主要工作. 第二章和第三章主要研究了如下混合边界下半线性椭圆方程 Δu + f (u) = 0, x ∈ Σ, u > 0, x ∈ Σ, ∂u∂ν = 0, x ∈ ΓN, u = 0, x ∈ ΓD (P) 其中ν为边界∂Σ上的单位外法向量, 区域分别是以x1轴旋转对称的标准球形锥体和超球形锥体. 这里ΓN是Σ的边界∂Σ中球面上那部分, ΓD = ∂Σ\ΓN. 在第二章中, 我们研究的区域是标准球形锥体下的问题(P). 因为Neumann 边界和Dirichlet边界相交为直角, 我们应用Serrin边界点引理在角点处局部分析, 从而得到局部单调性. 利用旋转平面法我们证明了解的轴向对称性. 进一步, 论文还利用移动平面法证明了解关于变量x1的单调性. 在非线性项f 非负的假定下, 我们还可以证明解关于径向的单调性. 在第三章中, 我们研究的区域是超球形锥体下的问题(P). 首先我们建立了窄区域上的混合边值问题的极值原理, 这大大降低了解的光滑性要求和能够允许区域边界含有不光滑点. 其次, 运用旋转平面法和混合边界的极值原理我们证明了解的轴向对称性. 进一步, 利用移动平面法和系鞋带方法证明了解关于变量x1的单调性和解关于变量xi(i > 1) 在半个区域的单调性. 第四章, 我们研究环上的Dirichlet问题 Δu + up + λu = 0, a < |x| < b, u = 0, |x| 径向对称解的唯一性和非退化性. 首先, 通过比较两个不同解的相交次数和比较两个解的能量得出解的唯一性. 其次, 通过构造扰动问题和利用单特征值分歧定理来证明解的径向非退化性. 第五章, 针对球上的Neumann问题, 通过单特征值分歧定理得出解曲线的存在性, 利用Sturm-Liouville比较原理证明了解的径向非退化性, 最后对比整体单调的径向解, 给出单调的径向解的中心值u(0)的刻画. 第六章, 对本文进行了总结, 并提出了下一步的研究计划.

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对称性 分歧理论 混合边界条件 唯一性 移动平面法

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半线性椭圆型方程解的性质蕴含了方程的丰富信息,对于描述各种现象的发展规律起着至关重要的作用.多物种互助模型的平衡解以及经济均衡点的存在性问题等都可以转化为Neumann边值问题解的存在性.本文研究一类半线性椭圆型方程Neumann边值问题解的存在唯一性.在假定非线性项满足渐近非一致条件的情况下,我们利用拓扑度理论和特征值比较原理得到了解的存在性,运用特征值比较原理证明了解的唯一性.推广和补充了以往的相关研究成果.作为应用,文中通过一个例子验证了所得结论.

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Neumann边值问题 渐近非一致条件 解的存在唯一性 拓扑度理论 特征值比较原理

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Neumann边值问题 渐近非一致条件 解的存在唯一性 拓扑度理论 特征值比较原理

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自由边界问题是抛物型偏微分方程研究的一个重要方面, 在诸多领域有着实际的应用背景. 例如医学上的肿瘤生长问题, 冶金业中金属融化凝固问题以及自然界中的种群迁徙问题等等. 该问题由来已久, 十多年来仍深得学者们的关注并对此进行了深入研究, 然而它的理论体系尚不完整, 对一些复杂的数学模型仍需进行进一步的探索. 本文主要研究带非线性梯度项的Stefan自由边界问题解的性质. 首先, 我们考察了模型ut− uxx= up− λ|ux|q, t > 0, 0 < x < s(t). 通过构造双射拉平自由边界, 并运用压缩映射定理证明该问题解的局部存在唯一性. 与此同时, 我们利用L^p理论和嵌入定理得到了解对初值的连续依赖性, 从而证明了比较原理. 然后, 通过构造上下解并结合比较原理得到参数p和q以及初值满足一定条件时, 该问题的解有三种存在形式: (1) 爆破解; (2) 全局快解; (3) 全局慢解. 其次, 我们在之前的理论基础上进一步考虑了以上问题在一维空间上的非径向对称情况, 即ut− uxx= up− λ|ux|q, t > 0, g(t) < x < h(t).我们利用与之前类似的方法, 通过构造不同的微分同胚变自由边界问题为固定区域问题, 利用压缩映射证明其解的局部存在唯一性, 进而依次得到了解对初值的连续依赖性和比较原理. 最后, 我们采取同样的讨论方式得到了含双自由边界时, 该类问题的解依然有以上三种存在形式.

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爆破解 存在唯一性 非线性抛物方程 全局解 自由边界

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本文对两类抛物型自由边界问题解的存在唯一性及解的有界性做了研究，分别给出了在高维情形下方程中带有超线性反应项的Stefan问题和具有固定梯度条件的自由边界问题径向对称解的存在唯一性及正则性估计，并给出了径向对称解存在的最大时间区间． 首先，本文在初始区域及初始值是径向对称的前提下，研究了带有超线性反应项的热传导方程的自由边界问题．文中先利用函数变换将自由边界转化为固定边界，进而将原自由边界问题转化为固定区域上的非线性抛物问题；然后通过构造适当的巴拿赫空间B并定义B上的压缩映射，利用不动点定理得到了原问题局部径向对称解的存在唯一性；又由嵌入定理及Schauder估计得到了局部解的正则性估计．进一步利用局部解的有界性和自由边界的单调性，给出了解存在的最大时间区间. 此外，本文给出了这类问题的比较原理形式． 其次，本文研究了满足热传导方程且自由边界条件是固定梯度条件的自由边界问题，在初始区域及初始值是径向对称的假设下证明了径向对称解的局部存在唯一性．文中先将原问题转化为证明一维非线性抛物方程自由边界问题解的存在性问题，并利用扰动问题逼近的方法证明了新问题极限解的存在唯一性；然后利用上下解的方法证明此唯一的极限解就是新问题的极小上解；在此基础上，根据先验估计在适当的假设下构造一个上解的集合K和一个元素(u,A)并证明(u,A)是集合K的极小元；进一步证明其就是新问题的局部古典解，因此原问题的唯一极限解就是其局部径向对称解．此外，本文证明了原问题的极限解u恒是径向对称解直到其退化为0.

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存在性 径向对称解 抛物方程 唯一性 自由边界

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本文主要考察了带非线性梯度吸收项的拟线性抛物方程在无界与有界区域上解的 定性性质. 本文中影响解的性质的因素主要有: 非线性算子, 反应项的指标, 初值的性质 以及区域的几何性质. 在无界区域上, 一方面, 本文利用H¨older 以及Young 等基本不等式和反证法思想证 明了解的爆破条件, 并通过构造有界上解, 结合比较原理得到全局解的存在性, 从而给 出由反应项的指标决定的第一临界指标. 另一方面, 在全局解存在的基础上, 通过初值 在无穷远处的衰减性证明解的有限时间内爆破, 从而得到由初值的性质决定的第二临 界指标. 在有界光滑区域上, 本文首先通过光滑解逼近思想证明了弱解的局部存在性, 并运用比较原理说明了其唯一性. 在弱解局部存在唯一性的基础上, 本文结合比较原理, 通过分别构造有界上解和无界自相似下解来证明解的全局存在性与有限时间内爆破性. 而且, 通过数值算例验证了全局存在性的正确性. 此外, 当解在有限时间内爆破时, 本文 还粗略的估计了爆破时间的上界. 最后, 本文还用一些常见的微分不等式证明了解的爆 破时间下界(依赖于初始值).

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爆破 爆破时间下界 第二临界指标 拟线性抛物方程 全局

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随着电力系统向超高压方向发展，自耦变压器容量越来越大，而其零序阻抗越来越小，导致保护上虽然零序电流达到定值。但零序电压很小，不满足灵敏度要求，零序方向元件误动和拒动，从而零序方向纵联保护无法投入。但超高压自耦变压器中性点所产生的数值很大的零序电流的作用一直被忽略，没有被有效利用。据此提出利用自耦变压器中性点零序电流来代替保护上两侧零序电压的基于自耦变压器中性点零序电流的方向比较纵联保护方案。该方案以自耦变压器中性点零序电流为参考量，与两侧保护处的零序电流进行比相，以两者相位差作为方向判据，判断自耦变压器两侧故障方向，进而根据纵联方向比较原理比较两侧故障方向来易区分内部故障和外部故障。该方案能够消除保护处零序电压对零序方向元件方向判据的不利影响，有效地解决了目前保护处零序电压太小而引起的传统零序方向纵联保护拒动和误动的难题。经动模实验数据和数字仿真验证了该方案对接地故障具有灵敏度高，选择性好，能够正确地反应变压器各种轻微匝间故障，判据不受故障侧电流互感器（CT）饱和影响等优点。

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CT饱和 方向比较 接地故障 零序电流 新方向元件 匝间故障 自耦变压器 纵联保护

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随着科学技术的迅速发展, 产生了大量的非线性方程. 我们知道, 非线性方程的一个重要特点是多解的存在性, 研究解的确切个数和分歧有着重要的理论意义和应用价值. 本论文讨论了几种常见而且重要的常微分方程在Neumann边值条件下的解的确切个数、分歧及稳定性, 并利用不动点指数理论研究了椭圆型偏微分方程和方程组的解的存在性.首先, 我们研究了二阶Neumann边值问题\begin{equation*}\label{fangch-1} \left\{\begin{array}{l}u‘‘+ g(x, u)=f(x), \quad x\in (0, 1),\\u‘(0)=u‘(1)= 0,\end{array}\right.\end{equation*}其中 $g(x, u), f(x)$ 是连续函数, 函数 $g(x, u)$ 只有单调性而不具有凸凹性且满足 $g‘(x, u)\ll \pi^{2}/4$. 利用极大值原理、反极值原理、上下解方法和特征值比较原理得到了解的确切个数和稳定性. 然后利用拓扑度理论研究了带有不跨特征值扰动的半线性椭圆型偏微分方程的Neumann边值问题解的存在性和唯一性.其次, 利用一致反极值原理、Crandall-Rabinowitz 分歧定理和拓扑度理论研究了非线性项是立方函数的Neumann边值问题解的全局结构和确切个数. 随着参数的变化, 证明了方程的所有的解都在一条光滑的反S型曲线上, 而且, 当参数给定时, 得到了方程有确切的一个解、两个解或三个解的结果.再次, 将分歧理论应用于研究带收获项的logistic方程\begin{equation*}\label{fangch-0} \left\{\begin{array}{l}u‘‘+ a(x)u- b(x)u^{2} =\lambda h(x), \quad x\in (0, 1),\\u‘(0)=u‘(1)= 0,\end{array}\right.\end{equation*}其中增长率 $a(x)$ 是可变号的, 参数 $\lambda$ 是非负的, $h(x)> 0$. 运用一致反极值原理和Crandall-Rabinowitz分歧定理得到了解的全局结构, 证明了所有的解都在一条光滑的连续曲线上. 利用特征值比较原理得到了解的稳定性和Morse指数.最后, 我们以非线性二重Hammerstein型积分方程为研究背景, 研究了这类算子$A=K_{1}F_{1}K_{2}F_{2}$ 的不动点指数的计算, 并讨论了椭圆型偏微分方程组的边值问题正解的存在性.

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Neumann 问题 一致反极值原理 解的确切个数 分歧 稳定性 存在性

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理解边界逐点的几何条件如何影响偏微分方程解的边界行为是异常重要且困难的. 本文系统的研究了非散度型抛物方程的侧边正则性理论. 对于Cauchy-Dirichlet边值问题, 我们研究了抛物方程的粘性解在柱体凸区域上的侧边可微性, 同时对于非柱体区域, 研究了粘性解的侧边Lipschitz连续性, 侧边可微性和侧边$C^{1,Dini}$型估计. 我们的主要研究工具是Alexandroff-Bakelman-Pucci-Krylov-Tso极值原理, Harnack不等式, 闸函数技巧和迭代方法. 本文主要分为三个部分. 第一部分, 我们研究了抛物方程齐次边值问题的粘性解在柱体凸区域的侧边可微性. 首先对柱体凸区域给出抛物blow-up集$V\times(-\infty,0]$(其中$V$是$\Rset^n$中的凸锥), 然后在blow-up集合的侧边点(角点和平点)通过闸函数技巧, 极值原理和Harnack不等式获得先验估计, 最后在柱体凸区域上分为角点和平点考虑侧边上的可微性. 角点情形比较容易, 可以直接通过比较原理得到结论. 平点情形则稍显复杂, 通过在不同的尺度下构造一系列比较函数, 同时利用在blow-up集合获得的先验估计和凸性, 最终完成了证明. 与椭圆情形一样, 该结果也是最优的, 即无法获得导数沿着侧边的连续性. 第二部分, 我们研究了抛物方程非齐次边值问题的粘性解在柱体凸区域的侧边可微性. 我们也是将侧边点分成两种情况: 角点情形和平点情形, 并直接使用迭代方法. 在角点情形, 我们可以得到先验估计, 并得到侧边可微性 在平点情形, 只能得到侧边可微性, 无法获得先验估计. 特别的, 在平点情形, 相对于椭圆方程时的证明, 我们简化了迭代超平面的斜率的收敛性. 为完备起见, 我们得到了底边可微性和相应的估计. 第三部分, 我们证明了抛物方程粘性解在侧边的Lipschitz估计, 即当抛物边界在侧边点$X$处满足外部$C^{1,Dini}$条件, 则抛物方程的解在$X$处是Lipschitz连续的. 我们选择线性函数作为比较函数, 并使用迭代方法简化了Kamynin和Khimchenko的证明. 证明中没有使用到侧边的Harnack不等式和增长性引理. 其次, 我们证明了当抛物边界在侧边点$X$处是$C^1$的且满足外部$C^{1,Dini}$条件, 则抛物方程的解在$X$ 处是可微的. 这是一个新的结果, 也是最优的. 它推广了之前部分的平点情形的侧边可微性结果. 在添加抛物边界在侧边点$X$ 处是$C^1$后, 我们改进了Kamynin 和Khimchenko的结果. 接下来, 当抛物边界在侧边点$X$满足$C^{1,Dini}$条件时, 则我们得到了抛物方程的解的侧边逐点$C^{1,Dini}$估计, 推广了逐点侧边$C^{1,\alpha}$估计. 最后, 我们证明了低阶项无界情形的抛物方程的强解在侧边点的Lipschitz连续性.

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非散度型抛物方程侧边正则性侧边可微性柱体凸区域

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