Abstract ：

本文主要讨论了外区域的单相自由边界问题的整体渐近性质，其中外区域的边界紧包含于正相部分，且自由边界为光滑函数的图像。我们将自由边界问题研究的部分经典工具（如blow-down技术，Weiss单调公式）作了相应的修改并应用于此情形，得到了关于全局渐近性的一些结果。 第二章介绍了单相自由边界问题，包括它的导出、一些已知结果以及相关经典工具。此章中还讨论了单相自由边界问题的解的局部正则性和全局渐近性质。 第三章研究了R^n(n>=2)中的单相自由边界问题的外区域问题。事实上，在此章中主要考虑了外区域的边界紧包含于正相部分的情况。为了方便讨论，假设自由边界为光滑函数图像；为了方便计算，本文中主要对问题的等价形式进行证明。在此章中证明了外问题的解的一些线性增长性的结果，即，它是 Lipschitz 连续且非退化的。我们对Weiss单调公式添加了额外项，从而保证了它的单调性依然在大范围内成立。然后，刻画了u的blow-down极限的性质，证明了它是一次齐次的变分解。 第四章主要研究了平面上的情形，并证明了blow-down极限是半平面解。因此u在子列意义下是渐近平坦的。 第五章对全文内容进行了总结，并提到了下一步可以考虑的一些问题。

Keyword ：

单相自由边界问题 渐近性质 偏微分方程 外区域问题 自由边界问题

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Abstract ：

作为金融市场量化风险管理的主要工具，投资组合选择理论一直都是现代投资学和运筹学的重点研究领域。虽然投资组合选择理论与方法已日趋完善，但是金融市场中仍有大量的异象无法得到解释。在2008 年美国市场的房地产次级贷款危机诱发了全球金融海啸之后，人们越来越重视投资者的心理因素对金融市场的影响。鉴于此，我们考虑投资者的心理因素，综合运用现代投资学、运筹学和统计学方法，致力于行为投资组合选择问题的研究并取得了如下五个方面的研究成果： (1) 为了刻画投资者共有的贪婪心理，同时让数据说话，我们提出了一个完全依赖于历史数据的新风险度量并探讨其性质。据此，我们可以自然地导出集中的最优投资 组合，而不用强加基数约束。在均值-风险框架下，我们分别构建了简单情形和复杂情形下的投资组合选择模型。为了有效地求得全局最优投资组合，我们借鉴文献中一个极具吸引力的算法。最后，利用美国股市和中国股市的真实数据，我们展开了一系列的实证研究。样本外结果不仅证实了新模型可自然获得集中的最优投资策，而且说明了新模型的实用性、有效性和鲁棒性。 (2) 为了降低投资组合选择模型对历史数据的需求量，我们首先根据心理学中的比较判断法则，引入判断矩阵的概念。然后基于新近提出的广义相关性度量，构造具体的判断矩阵并给出其非参数估计和渐近性质。该矩阵可以处理历史数据较少的股票、可以刻画股票收益率之间的非线性和非对称性质、并可诱导出一类新风险度量。在均值-风险框架下，我们建立了考虑总风险暴露约束的投资组合选择模型，以帮助投资者灵活地控制卖空头寸。因为新模型的凹凸性难以保证，我们设计了一个混合算法以求得模型的全局最优解。美国股市和G20 国家股市的实证结果表明，新模型比传统均值方差模型具有更好的选股能力，这种优越性在允许卖空情形下更加明显。 (3) 针对投资者既想赚钱又害怕亏本的双重心理，我们根据马斯洛需求层次理论、借助双层规划技术构建了马斯洛投资组合选择模型(MPSM) 的一般框架。进一步地，我们建立了两个具体的马斯洛投资组合选择模型：V-CVaR MPSM 和P-P MPSM。在对收益率分布不做任何假定的情形下，我们探讨了V-CVaR MPSM 的求解步骤，并提出了处理P-P MPSM 的序列线性近似算法。最后，基于美英两国股票市场的历史数据开展实证研究。结果表明，新模型不仅可以导出分散性适中的最优投资策略，而且为投资者更安全地获得更高收益提供了一种简单、实用且有效的方法。 (4) 针对投资者想减少未来后悔的心理，我们基于后悔理论建立了新的投资组合选择模型(RPSM)。该模型在控制投资组合收益分布矩的前提下极大化投资组合权重的乘 积。利用贝叶斯统计的思想，我们将模型中需要基于历史数据估计的参数假设成随机的，从而对各阶矩的整体控制可以建模成一个联合概率约束。在椭球分布假设下，我们探讨了RPSM 的等价转化问题。因为模型的非凸性，我们通过变量替换，并利用分段线性近似方法构造了RPSM 的凸近似问题并证明了其有效性。利用G7 国家股市数据进行的数值测试证实了凸近似的紧性，样本外结果则说明了新模型的实用性和有效性。 (5) 针对投资者希望尽快达到预先设定目标的最短时间心理，我们基于最速曲线构建了目标财富的动态方程，它不仅可以帮助投资者实时地调整投资策略，而且还可以 描述著名的时间效应现象。在均值-风险框架下，我们基于目标财富的动态方程、结合时间效应和处置效应现象，建立了多期投资组合调整模型并探讨其求解步骤。最后，我们利用德国股市和中国股市的真实数据进行实证研究。样本外实证结果不仅证实了投资组合调整的必要性，而且说明了新模型的有效性。

Keyword ：

广义相关性度量 后悔心 理 马斯洛需求层次理论 贪婪心理 投资组合选择 最速曲线

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在许多实际问题中, 经常会存在各种因素影响人们对兴趣数据的收集从而导致所收集到的数据不完整, 尤其在可靠性寿命试验、基因数据研究、医药追踪试验、人口普查、环境监测及生物医学等研究领域, 经常产生大量的缺失数据. 而缺失数据的存在给统计分析和推断带来很多困难. 因此, 如何在缺失数据下对统计模型进行有效的统计分析和推断引起了很多学者的关注. 众所周知: 分位数回归较之通常的均值回归可以更全面反映回归关系的特征与规律, 且对异常数据具有稳健性. 所以, 本文主要研究缺失响应数据下几类分位数回归模型的统计推断问题, 重点研究了缺失响应数据下线性分位数回归模型, 线性复合分位数回归模型, 变系数分位数回归模型和变系数复合分位数回归模型的参数估计及其大样本性质. 本文的主要创新性成果如下: 第一, 提出了缺失响应数据下线性分位数回归的经验似然估计, 并证明了估计量的大样本性质. 第二, 基于光滑化的思想并采用合适的光滑函数, 提出了缺失响应数据下线性分位数回归的光滑经验似然估计, 并证明了估计量的大样本性质. 第三, 提出了缺失响应数据下线性复合分位数回归的经验似然估计, 并证明了估计量的大样本性质. 第四, 将变系数分位数回归模型的估计方法推广到缺失数据的情况. 在缺失响应数据下提出了变系数分位数回归的估计, 并证明了估计量的大样本性质. 最后, 提出了缺失响应数据下变系数复合分位数回归的估计, 并证明了估计量的大样本性质. 另外, 数值模拟实验和实例分析说明了本文所提出的各类估计和推断方法在实际应用中均具有很强的可行性和有效性.

Keyword ：

分位数回归, 经验似然, 缺失响应数据, 变系数模型, 渐近性质

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本论文主要利用解析的方法研究了Lehmer问题和广义Dedekind和的相关问题，得到了一些较好的结果。 具体来说，本论文主要包括以下几方面的成果： 1. 关于Lehmer问题的研究。 将经典Lehmer问题进行了两种推广：$N(q,k\varepsilon_{1},\cdots,\varepsilon_{k})$和$M(p,k\varepsilon_{1},\cdots,\varepsilon_{k})$。 设$q$为一正奇数且$k$为任一给定的大于等于2的整数，$\varepsilon_{i} =\pm1$，$i=1,2,\cdots,k$，令$N(q,k\varepsilon_{1},\cdots,\varepsilon_{k})$ 表示$k$维正整数组$(x_{1},x_{2},\cdots,x_{k})$的个数，其中 $x_{i}\in [1,q]$，$x_{i}$均与$q$互素，$(-1)^{x_{i}+\overline {x_{i}}}=\varepsilon_{i}$且$x_{1}x_{2}\cdots x_{k}\equiv1(\bmod {q})$。设$p$为一奇素数，$k$为大于等于2偶数，$\varepsilon_{i} =\pm1$，$i=1,2,\cdots,k$， 令$M(p,k\varepsilon_{1},\cdots,\varepsilon_{k})$ 表示$k$维原根数组$(x_{1},x_{2},\cdots,x_{k})$的个数， 其中$x_{i}\in[1,p-1]$，$(-1)^{x_{i}+\overline {x_{i}}}=\varepsilon_{i}$且$x_{1}x_{2}\cdots x_{k}\equiv1(\bmod {p})$。本论文主要利用广义Kloosterman和的估计及特征和的相关知识研究了 $N(q,k\varepsilon_{1},\cdots,\varepsilon_{k})$ 和 $M(p,k\varepsilon_{1},\cdots,\varepsilon_{k})$的渐近性质，得到了两个较好的渐近公式。 2. 对广义Dedekind和的一次均值的研究。 主要通过广义Dedekind和与Dirichlet $L$函数之间的恒等式，特征和的估计，Dirichlet $L$函数的均值定理和剩余系理论研究了 广义Dedekind和的一次均值，考察了广义Dedekind和的分布性质，并最终得到了两个较好的渐近公式。

Keyword ：

Dedekind和 Dirichlet L函数 Lehmer问题 广义Dedekind和 渐近公式 均值

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众所周知,Navier-Stokes方程是描述不可压缩粘性流体运动的数学物理方程.不同的边值条件和初值条件,可以用来描述不同的物理现象.本文首先考虑一类带有次可微性质的非线性slip边界条件的二维Navier-Stokes方程,其变分问题为具有Navier-Stokes算子的第二类变分不等问题.这类非线性边界条件可以用来描述一些实际流动问题,例如动脉硬化患者血管中的血液流动.随后考虑一类具有梯度限制的四阶障碍问题,其变分问题为第一类四阶椭圆变分不等问题.本文主要研究了具有Navier-Stokes算子的第二类变分不等问题以及第一类四阶椭圆变分不等问题的数学理论和数值方法,主要分为以下五部分:第一部分主要讨论具有非线性slip边界条件的定常与非定常Navier-Stokes方程的数学理论.应用正则化和Galerkin逼近方法,我们证明了定常弱解和非定常弱解的存在唯一性和正则性,并且非定常解是全局存在的.给出了非定常解的连续依赖性,说明非定常解是唯一的,并且当初始数据足够光滑时,非定常弱解也是正则解.由于非定常解是全局存在的,那么我们还讨论了当$t\longrightarrow+\infty$时解的渐近性质.我们证明了当$t\longrightarrow +\infty$时,非定常解收敛到定常解.从这些结果可以看出,具有非线性slip边界条件的二维Navier-Stokes方程解的适定性是类似于齐次全Dirichlet边界条件下二维Navier-Stokes方程解的性质.第二部分给出了求解具有非线性slip边界条件的Stokes问题的Uzawa迭代算法.在此边界条件下,Stokes问题的变分形式为具有Stokes算子的第二类变分不等问题.首先引入乘子,使得变分不等问题转化为等式形式,并且所得到的变分等式问题等价于一个鞍点问题.随后给出了求解变分不等问题的Uzawa迭代算法,证明了该算法的收敛性.为了得到算法的收敛阶,我们引入一种抽象的算子, 讨论了这个算子的一些性质,从而得到了Uzawa算法的收敛阶.最后我们给出数值算例来说明算法的可行性.从数值算例中我们可以看出,采用Uzawa迭代方法求解具有非线性slip边界条件下的Stokes问题的数值解时,迭代初值的选取是非常重要的.第三部分主要讨论具有非线性slip边界条件的定常Navier-Stokes方程的有限元逼近,包括加罚有限元逼近和压力投影稳定化有限元逼近.首先我们考虑加罚有限元逼近,得到了最优阶的误差估计.由于所采用的速度-压力空间要求满足稳定性条件,即离散的$\inf-\sup$条件,那么在进行数值实验时,我们采用Taylor-Hood元($P_2-P_1$元),给出数值结果,验证了所得的加罚有限元逼近的误差阶.随后考虑了基于$P_1-P_1$元的压力投影稳定化有限元逼近,对这种稳定化方法,我们同样得到了有限元误差估计,并且给出数值算例.将稳定化方法的数值结果与传统的Galerkin方法和Bubble函数方法相比较,验证了压力投影稳定化有限元方法的优越性.第四部分应用$\theta-$格式到具有非线性slip边界条件的非定常Navier-Stokes方程.类似地,我们引入乘子,使得原变分不等问题转化为等式形式.对这个等式形式问题应用$\theta-$格式,给出了求解该问题的算子分裂迭代格式.定义有限元子空间,给出了迭代格式的有限元逼近形式,证明了离散格式的稳定性和当$(h,\Delta t)\longrightarrow 0$时的收敛性.最后给出了数值算例,验证了算法的稳定性.第五部分讨论具有梯度限制的四阶障碍问题的数值方法.通过加罚方法,首先得到了相应的增广Lagrange泛函.随后给出ALG迭代算法,证明了算法的收敛性.对ALG迭代算法,得到了两个子问题,考虑了这两个子问题的有限元逼近.最后,我们给出了数值算例.

Keyword ：

Navier-Stokes方程非线性slip边界条件变分不等问题有限元逼近迭代算法

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本论文主要研究了组合数论中特殊整数Fibonacci数与Lucas数的恒等性质和解析数论中DirichletL-函数及其推广形式的渐近性质，综合运用初等数论方法和解析方法得到了令人较为满意的结果，另外，本文还研究了关于SmarandacheLCM比率序列的几个新型的递推公式。具体来说，本论文主要包括以下几个方面的成果：1.关于Fibonacci数与Lucas数的恒等性质的研究。利用Chebyshev多项式的正交性质以及Chebyshev多项式与Fibonacci数的密切联系，得到了几个新的含有Fibonacci数与Lucas数的恒等式。2. 关于Dirichlet L-函数与广义三角和的加权性质的研究。设 $p\ge 3$是素数且 $\chi$是模 $p$ 的Dirichlet特征。设$f(x)=\sum_{i=0}^ka_ix^i$是一个整数系数的$k$次多项式且满足$p\nmid(a_0,a_1,\dots,a_k)$。则对任意正整数 $m$ 和 $k$，我们利用解析方法以及同余方程的解的个数来研究$$\sum_{\chi\ne\chi_0}\left|\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)e\left(\frac{f(a)}{p}\right)\right|^2|L(1,\chi)|^{2m},$$的渐近性质，得到了一个较好的渐近公式。3. 关于广义Dirichlet L-函数在临界点或临界线上的均值的研究。设$q\ge 3$ 是整数，$\chi$ 是模 $q$ 的Dirichlet特征，$a$是任意大于0的实数，我们研究了广义Dirichlet L-函数$$L(s,\chi,a)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{(n+a)^s},\quad(s=\sigma+it,\sigma>0)$$分别在 $s=1$ 和 $s=\frac{1}{2}+it$上的渐近性质,得到了较为满意的结果。其中在对 $s=\frac{1}{2}+it$的研究中，充分利用了van der Corput 方法，得到了较好的结果。4. 关于Smarandache LCM比率序列的递推公式的研究。灵活运用最大公约数与最小公倍数的关系以及初等数论的知识，我们得到了三个Smarandache LCM比率序列的递推公式，进一步推广了前人的结果。

Keyword ：

Fibonacci数Dirichlet L-函数广义三角和广义Dirichlet L-函数Smarandache LCM比率序列

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对具有无穷方差的非线性自回归序列xt=φ(xt-1,xt-2,…,xt-p,θ)+∈t,E(∈2t)=∞,利用局部二次近似和连续函数空间C(Rq)上弱收敛随机过程最小点的渐近性质,证明了若存在δ≥1,使得E|∈t|δ＜∞成立,则θ满足一定条件的自加权L1估计θL1是渐近正态估计,Wald检验统计量也具有通常的X2分布,为模型的统计推断提供了理论基础.

Keyword ：

Wald检验统计量 非线性自回归 渐近正态 弱收敛 自加权L1估计

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随着科学技术的迅速发展，非线性问题已经成为当今各学科研究的主流。而由于非线性问题可从根本上归结为由非线性算子所引导的算子方程问题，因此，有关非线性算子的研究受到人们的普遍关注。在实际应用系统中，系数算子大多表现为半线性，即线性算子的非线性扰动。事实上，现今有关非线性算子的研究主要集中在线性算子的非线性扰动，其中有界线性算子强连续半群生成元的非线性扰动尤为重要。譬如，在非线性扩散对流系统、人口发展方程、神经网络系统、生物种群动力系统等系统中，方程右端都是由一个线性算子加一个非线性算子组成，其中线性算子在适当的空间中生成强连续算子半群。因此，研究强连续算子半群的非线性扰动具有非常广泛的应用背景和重要的理论意义。 本文在非线性Lipschitz半群的框架下，对强连续算子半群的非线性Lipschitz扰动进行深入而系统的研究。主要研究内容如下： （1）第二章致力于强连续算子半群在Lipschitz扰动下的正则性质保持问题的研究。主要从非线性Lipschitz半群的角度，研究强连续算子半群的非线性Lipschitz扰动。一方面，我们将强连续算子半群的范数连续性、直接范数连续性、直接紧性概念推广到非线性Lipschitz半群并证明：范数连续的（直接范数连续的、直接紧的）线性算子半群在非线性算子扰动下生成的非线性Lipschitz半群仍然是范数连续的（直接范数连续的、直接紧的）；另一方面，利用抽象空间的外推理论，我们研究非稠定Hille-Yosida算子在非线性Lipschitz算子扰动下的范数连续性、直接范数连续性和直接紧性的保持问题。 （2）在第三章，我们把与线性算子半群性质保持问题密切相关的强凸紧性概念推广到非线性的情况。在非线性框架下，我们证明了下述非线性算子空间具有强凸紧性：紧算子空间、全连续算子空间、弱紧算子空间、条件弱紧算子空间、弱全连续算子空间、次连续算子空间、弱连续算子空间以及强连续算子空间。进而，我们利用所获得的结果研究了线性算子半群在非线性扰动下的性质保持问题。 （3） 第四章致力于非线性Lipschitz半群的渐近性质的研究。首先证明了非线性Lipschitz半群的指数稳定性与稳定性的等价性；其次，利用广义Dahlquist数，讨论强连续算子半群生成元被哪些Lipschitz算子扰动之后生成的非线性算子半群仍然保持强连续算子半群的稳定性；最后，针对某些特殊的非线性系统（如，Cohen-Grossberg神经网络），为更好地刻划系统的稳定性，我们引进新的广义Dahlquist数，并得到了该系统指数稳定的充分条件。 （4）第五章主要研究了半线性时滞微分方程的适定性问题和渐近性质。在非线性Lipschitz半群的框架下，针对如下两种情况，对Banach空间X中的半线性时滞微分方程du(t)/dt = Au(t) + Bu_t 的适定性和渐近性展开研究：(i) A是Banach空间X上的强连续算子半群的无穷小生成元 (ii) A是非稠定的Hille-Yosida算子。基本思路是：把半线性时滞微分方程转化为抽象乘积空间中的Cauchy 问题，建立半线性时滞微分方程的适定性与抽象空间里Cauchy问题的适定性的等价关系，讨论乘积空间中非线性算子半群的生成性。在扰动时滞存在的情况下，获得了半群的最终紧性保持结果。

Keyword ：

Lipschitz 半群Lipschitz 扰动指数稳定性半线性时滞微分方程Cohen-Grossberg神经网络

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序是与代数、拓扑并列的三大数学结构之一，它在数学理论及应用研究中起着非常重要的作用。在拓扑空间中引入序结构，空间性质以及空间中的运算可能会呈现出非常重要的性质。受到数学分析中经典数列收敛定理(单调递减有下界必收敛)的启发，本文在一般度量空间中引入一种全新的序结构，即在度量空间(X,d)中定义如下序关系： （1）其中 是定义在X上的一个泛函。在这种序结构下，我们可以引入序列的单调递增、单调递减、有界性等概念，并且证明单调性与有界性不仅能保证序列的收敛性，而且是序列收敛的必要特征，揭示了度量空间中收敛序列的本质特征。除此之外，我们还通过引入增映射的概念，将线性空间中相关的不动点定理推广到一般的度量空间。在线性情形下，我们主要研究(1)定义下的半序关系在线形空间中所呈现出的特性，并给出了具有基的半序Banach空间的等价刻画，即，一般具有基的序Banach空间，都可以表示成在(1)定义的半序下诱导出的序Banach空间，并由此建立了正算子半群的渐近稳定的一个新的判定准则。作为应用，我们研究了中子迁移方程的渐近性质，所获的稳定性结果不仅推广了现有的研究工作， 而且更具有实用性。

Keyword ：

半序 正算子半群

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对任意正整数n,设a(n)表示n的三角形数补数,即就是a(n)是最小的非负整数使得n+a(n)为一三角形数m(m+1)/2.用初等和解析的方法研究了三角形数补数列{a(n)}(n=1,2,3,…)的渐近性质,给出了两种不同类型的渐近公式.

Keyword ：

补数 渐近公式 三角形数 序列

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